Mantık

Bilgi ve anlayışı çoğaltmanın önemli yollarından birisi varolan bilgilerden akıl yürüterek, çıkarımlar yaparak yenilerine ulaşmaktır. Örneğin engin matematik literatürünün neredeyse tamamı üç beş temel bilgi üzerine akıl yürütürek oluşturulabilir. Matematiksel mantık, hepimizin öyle ya da böyle bilip kullandığı mantığı sistematik olarak ele alır.

Yunan bilim ve felsefesinde mantık çok belirgin bir araçtır. Sokratik diyaloglar doğru bilinenin kökenlerine iner, temel varsayımları ve bu varsayımların sonuçlarını inceler. Öklid, bugün “Öklid postülatları” olarak bildiğimiz 5 temel geometrik varsayım çıkartmış (“2 noktadan 1 doğru geçer” gibi çok doğal görünen gerçekler) ve bütün geometriyi bu 5 temel gerçek üzerine kurmaya çalışmıştır. Daha önce bahsettiğim Pisagor’un “Herşey sayıdır” sözünü sayıları temel gerçekler alarak diğer bilgiye ulaşabiliriz olarak anlayabiliriz.

Matematiksel mantığın temellerini milattan önce 4. Yüzyılda Aristo attı. Uzun yıllar boyunca da pek tartışmalı ya da ilginç bir alan olarak görülmedi. 19. yüzyılda ise matematiğin sandığımız kadar güvenilir olmadığını farkettik. Sayılar ve geometri ile ilgili temel aldığımız “doğal gerçeklerin” eksik ya da değiştirilebilir olduğunu farketmeye başladık.

Örneğin Öklid’in beşinci postülatı (açıları kullanarak paralel doğruları tarif eder) manalı bir geometri için illa doğru kabul etmemiz gereken bir gerçek değil. Oysa bu o kadar doğal bir gerçek gibi görünmüş ki 19. yüzyıla kadar pek çok matematikçi ilk dört postülatı kullanarak beşinciyi ispatlamaya çalışmışlar nafile. 1800’lerde Lobachevsky ve Bolyai beşinci postülatın değiştirebildiğimizi farkettiler. Örneğin noktalarımız ve doğrularımız bir küre üzerinde olabilirler. Bir küre üzerinde ekvatora dik iki doğru çizerseniz bunlar paralel doğrulardır ama kutuplarda kesişirler. Dahası bu doğrularla elde ettiğiniz üçgenin iç açılarının toplamı 270 derece eder.

Yüzlerce yıl, hem de dünyanın yuvarlak olduğunu bilmemize rağmen, geometriyi sadece “düz” bir yüzeyde yaşadağımızı varsayarak yapmışız; ancak 1800’lerde bunun alternatifleri olabileceğini anlamışız. Benzer problemleri aynı yıllarda matematiğin diğer alanlarında da görmeye başladık. Bu dönemde matematiksel mantık, ayrık otlarını temizleme alana bir çeki düzen verme arzusuyla önem kazanıyor.

Mantığın gelişimini, bilgisayarların düşünebilmesi ihtimalini ortaya çıkaran teorik bağlam takip ediyor. Bu fikrin ortaya çıktığı 19. Yüzyılda, henüz modern anlamda hesap makinesi diyebileceğimiz makineler bile yoktu. Dört işlem yapabilen mekanik hesap makineleri 1600’lerde (Schickard, Pascal, Leibniz), İngiliz matematikçi Charles Babbage’ın tasarladığı polinom aritmetiği de yapabilen “fark motoru” (difference engine) adlı mekanik hesap makinesi 1800’lerin başlarında ortaya çıkıyor. Fark moturunun aritmetik hesaplar dışında akıl yürütmek için de kullanılabileceğini ilk farkeden Babbage’ın öğrencisi Ada Lovelace.

Kullandığımız önermeleri sayısal sembollerle temsil eder ve mantıksal kuralları da sayısal işlemler olarak ifade edebilirsek o zaman hesap makinesi kullanarak mantıksal çıkarımlar da yapabiliriz. Örneğin “p veya q” önermesini düşünelim. Hem p hem de q yanlışsa yanlış, diğer (p veya q’dan birisinin doğru olduğu) durumlarda doğru. Yanlışı 0, doğruyu 1 olarak gösterir, “veya”yı da toplama gibi bir işlem olarak ifade edersek, aşağıdaki tablo aslında kuralları biraz farklı bir toplama işleminden ibaret. Sadece 1+1, 2 değil de 1 ediyor.

P	Q	P veya Q (+)
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Benzer şekilde “P ve Q” önermesinin tablosunu yaparsanız, “ve” işleminin bildiğimiz çarpmayla aynı olduğunu göreceksiniz. Ada Lovelace bu fikrin ne kadar büyük açılımları olacağını daha ortada bilgisayar denebilecek bir icat yokken farkedip, “Seslerin temel ilişkilerini ve harmoni kurallarını bu biçimde ifade edebilirsek o zaman makineler beste bile yapabilir.” demiş.

Ada Lovelace’ın yaklaşımı sadece sayıları ve fonksiyonları değil, mantığı da “hesaplayabileceğimizi” söylüyor.