Matematiksel modelleme sağladığı bütün imkanlara rağmen her derde deva değil. Sayıların doğası karmaşık.
Tamsayılar (yani 0,1,2,… diye giden doğal sayılar ve bunların negatifleri) kolay. Doğal sayılar doğadaki fenomenlerin nicelikleri olarak var, bunların negatiflerini alınca tamsayılara geliyoruz. Toplama, çıkartma, çarpma, bölme (aritmetik) tamsayılarda kolay. İlkokulda algoritmik olarak bu işlemleri yapmayı öğreniyoruz, hem teoride hem pratikte dertsizler. Bir tek eksikleri var, o da tamsayıları birbirine bölünce sonuç tamsayı çıkmayabiliyor, 1/2 örneğin.
Bu eksiği kapatınca rasyonel sayılara ulaşıyoruz. İki tamsayının oranı olarak yazılan sayılara rasyonel sayı denir, 0.5 (1/2), 0.6 (3/5) gibi. Rasyonel sayıların varlığı konusunda da tartışma yok, 1 çuval buğdayı 5 kişiye eşit dağıtabilmek için 1/5 gerekli. Bu sayılarla aritmetik işlemlerin hepsini yapabiliyoruz ve dahası rasyonel sayılarla yaptığımız bütün aritmetik işlemlerin sonucunda yine rasyonel bir sayı çıkıyor.
Aritmetik -ve genel olarak hesap kitap- yapabilmek önemli, çünkü hayatta karşılaştığımız problemlerde ihtiyaç duyduğumuz sayıyı hesaplayarak bulmak gerekiyor. Örneğin, 1 metrelik bir kalası 3 eşit parçaya bölmek için 1/3’ün metrenin neresinde olduğunu bulmalıyız. Bölme algoritmasını kullanarak cevabın 0.3333… diye süregittiğini hesaplayabiliriz.
Sonu gelmeden sürekli devam eden algoritmalar başa beladır. Bölmeyi nasıl yapacağımızı adım adım biliyoruz ama işlem bir türlü bitmiyor. Burada durumu kurtaran şey, ilk basamaktan sonra her adımda aynı sonucu bularak devam edeceğimizi bilmek. O yüzden algoritmayı gerçekten devam ettirmek zorunda değiliz. Bir iki adım ilerleyince anlıyoruz, bu böyle üç üç üç devam edecek. Rasyonel sayıların tamamında bölme işlemi böyledir; ya sonlu adımda biter ya da mutlaka kendini tekrar eden bir döngü içerir.
Bu sonu gelmeyen ondalık ifade pratikte de büyük sorun yaratmaz. Günlük işler için 0.333 yeterli, bu 1 santimden küçük bir hata payı bırakır. Ev yapıyorsanız ya da uzaya roket yolluyorsanız daha çok basamak kullanmak gerekebilir ama nasılsa basamakların hepsinin ne olduğu belli, istediğimiz kadar hata payını azaltırız.
Rasyonel sayılar ve bir felsefi yaklaşım olarak rasyonalizm kavramı tesadüfen aynı adı taşımıyor. Modern İngilizce’de “oran” anlamına gelen Latince “ratio” kökü, Yunanca “logos” kelimesinin bir çevirisi. Mantık demek. Rasyonalizm kabaca hakikate rasyonel (mantıklı) düşünce yoluyla ulaşabileceğimiz fikrini ifade ediyor. Pisagor ilk rasyonalist olarak biliniyor. Takip eden yılların önemli figürleri Sokrat, Plato ve kısmen Aristo da rasyonalist felsefeciler olarak anılıyor.
Pisagor yalnızca filozof değil, aynı zamanda bir matematikçi. Mistik ögeler de içeren öğretisini “Herşey sayıdır” diyecek kadar matematiğe bağlamış. Sayı derken kastettiği de tam olarak rasyonel sayılar, tamsayıların oranları. Müzikte harmoniye ilk teorik yaklaşımı getiren, notaları tamsayı oranları üzerinden hesaplayan da Pisagor. M.Ö. 6. yüzyılda yaşamış birisinin tam olarak neye inandığını bilmek zor ama anladığımız kadarıyla tamsayıları ve oranlarını çok seviyormuş.
Bizzat Pisagor’un kendi teoremine göre dik kenarları 1 birim olan dik üçgende uzun kenar √2 birim olmalı.
√2’yi tanımlayan özellik, kendisiyle çarpılınca 2 etmesi. Peki, nedir bu √2’nin değeri, hangi sayı kendisiyle çarpılınca 2 ediyor? Sayıların karekökünü bulmanın çarpma, bölme gibi bir algoritması yok. Deneme yanılmayla yaklaşık değerler bulabiliriz. 1.4’ün karesi 1.96, 1.5’in karesi de 2.25. Demek ki karekök √2, 1.4’le 1.5 arasında bir yerde olmalı. Bu şekilde adım adım karesi 2 eden bir sayı bulmaya çalışsak da bu işin de sonu bir türlü gelmiyor. Daha kötüsü 0.333… örneğinde olduğu gibi tekrar eden bir örüntüye de bir türlü denk gelmiyoruz.
Kendisi de bir Pisagorcu olan Hippasus, √2’nin rasyonel olmadığını (yani a/b şeklinde, iki tamsayının oranı olarak yazılamadığını) ispatlıyor. Antik dönemin en önemli matematiksel buluşlarından birisi; rasyonel sayılar herşey değil. Neler yaşandığını kesin olarak bilmesek de Pisagor’un bu zındığı kendi elleriyle gemiden atarak öldürdüğü iddia ediliyor. Yerleşik inançlara ters işler yapanların gemiden atılması, çarmıha gerilmesi yahut yakılması tarihte görülmedik şeyler değil.
Nihayetinde, güneş balçıkla sıvanmıyor “irrasyonel” sayıların varlığını da anlıyoruz. Bunlar ondalık düzende yazınca tekrar eden bir dizi olmaksızın süregiden sayılar. Bu yalnızca doğru saydığımız birşeyin yanlış çıkması problemi değil. Rasyonel sayıları hesaplamak, ve dolayısıyla pratik problemlerin çözümünde kullanmak kolaydı. İrrasyonel sayıların ise değerinin nasıl bulunacağı zor bir problem. √2 için bile kalem kağıtla yaklaşık bir değer bulmak için uğraşmak gerekiyor.
Bu durum genel olarak matematiksel modelleme ile çözmeye çalıştığımız problemlerin hepsinde karşımıza çıkıyor. Cevabı matematiksel olarak biliyor olsak bile gerçek hayatta çözümü kullanabilmek için cevabın “değeri”ni (yaklaşık olarak) bilmeliyiz. Hesabı yapmanın algoritmik bir yolunu bulmak hem de bu algoritmanın adımlarını teker teker takip etmek gerekiyor.
Hesap kitap yapmak, denklem çözmek modelleme ile bulduğumuz çözümleri pratikte kullanabilmek için kritik. Böyle hesapları kalem kağıtla yapmak çok vakit alan – çok da sıkıcı- bir iş. Dijital bilgisayarların teknolojik gelişime en büyük faydası karmaşık hesapları hızlı ve isabetli yaparak pratik çözümleri mümkün kılmaları.
Leave a Reply